设f(x),g(x)都是(-∞,+∞)上的可导函数,且f'(x)=g(x),g'(x)=f(x),f(0)=1,g(0)=0.证:f^2(x)-g^2(x)=1x∈(-∞,+∞)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 10:15:50
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设f(x),g(x)都是(-∞,+∞)上的可导函数,且f'(x)=g(x),g'(x)=f(x),f(0)=1,g(0)=0.证:f^2(x)-g^2(x)=1x∈(-∞,+∞)
设f(x),g(x)都是(-∞,+∞)上的可导函数,且f'(x)=g(x),g'(x)=f(x),f(0)=1,g(0)=0.证:f^2(x)-g^2(x)=1
x∈(-∞,+∞)
设f(x),g(x)都是(-∞,+∞)上的可导函数,且f'(x)=g(x),g'(x)=f(x),f(0)=1,g(0)=0.证:f^2(x)-g^2(x)=1x∈(-∞,+∞)
证明:
f'(x)=g(x),g'(x)=f(x)
设h(x)=f²(x)-g²(x)
求导:
h'(x)=2f(x)f'(x)-2g(x)g'(x)
=2f(x)g(x)-2g(x)f(x)
=0
所以:
h(x)=f²(x)-g²(x)=C为常数函数
x=0时代入得:
h(0)=f²(0)-g²(0)=C
f(0)=1和g(0)=0代入得:
C=1²-0²=1
所以:h(x)=f²(x)-g²(x)=1
所以:f²(x)-g²(x)=1
f^2(x) - g^2(x) 的导数是 2f(x)f'(x) - 2g(x)g'(x) = 2f(x)g(x) - 2g(x)f(x) = 0
所以 f^2(x) - g^2(x) 是常数,又 f^2(0) - g^2(0) = 1
所以 f^2(x) - g^2(x) = 1