m^2+n^2=4,x^2+y^2=1,求mx+ny的最大值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 16:19:32
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m^2+n^2=4,x^2+y^2=1,求mx+ny的最大值
m^2+n^2=4,x^2+y^2=1,求mx+ny的最大值
m^2+n^2=4,x^2+y^2=1,求mx+ny的最大值
1)最简单是用柯西不等式,(mx+ny)^2=<(m^2+n^2)(x^2+y^2)=(4+1)^2 ==> --根号5=
令m=2cosa,则n^2=4-4(cosa)^2=4(sina)^2
因为sina的值域关于原点对称
所以不妨令n=2sina
令x=cosb,则y^2=1-(cosb)^2=(sinb)^2
因为sinb的值域关于原点对称
所以不妨令y=sinb
所以mx+ny=2cosacosb+2sinasinb=2cos(a-b)
因为-1<=co...
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令m=2cosa,则n^2=4-4(cosa)^2=4(sina)^2
因为sina的值域关于原点对称
所以不妨令n=2sina
令x=cosb,则y^2=1-(cosb)^2=(sinb)^2
因为sinb的值域关于原点对称
所以不妨令y=sinb
所以mx+ny=2cosacosb+2sinasinb=2cos(a-b)
因为-1<=cos(a-b)<=1
所以2cos(a-b)的最大值=2
所以mx+ny的最大值=2
收起
令mx+ny=A
(m^2+n^2)(x^2+y^2)-(mx+ny)^2=36-A^2
[m^2*x^2+m^2*y^2+n^2*x^2+n^2*y^2]-[m^2*x^2+n^2*y^2+2*mxny]=36-A
(nx-my)^2=36-A^2
(nx-my)^2>0
所以36-A^2>0
A^2<36
A(max)=6
由柯西不等式可以得到(mx+ny)^2<=(m^2+n^2)(x^2+y^2)=4所以有mx+ny的最大值为2