如图,在△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,E,F分别在AC,BC上,且∠EDF=90°.求证:EF²=AE²+BF²(提示:延长FD至G,使DG=DF,连接AG,)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 19:24:09
![如图,在△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,E,F分别在AC,BC上,且∠EDF=90°.求证:EF²=AE²+BF²(提示:延长FD至G,使DG=DF,连接AG,)](/uploads/image/z/14341684-4-4.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9C%A8%E2%96%B3ABC%E4%B8%AD%2C%E2%88%A0C%3D90%C2%B0%2CD%E6%98%AFAB%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%2CE%2CF%E5%88%86%E5%88%AB%E5%9C%A8AC%2CBC%E4%B8%8A%2C%E4%B8%94%E2%88%A0EDF%3D90%C2%B0.%E6%B1%82%E8%AF%81%3AEF%26%23178%3B%3DAE%26%23178%3B%2BBF%26%23178%3B%28%E6%8F%90%E7%A4%BA%3A%E5%BB%B6%E9%95%BFFD%E8%87%B3G%2C%E4%BD%BFDG%3DDF%2C%E8%BF%9E%E6%8E%A5AG%2C%29)
如图,在△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,E,F分别在AC,BC上,且∠EDF=90°.求证:EF²=AE²+BF²(提示:延长FD至G,使DG=DF,连接AG,)
如图,在△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,E,F分别在AC,BC上,且∠EDF=90°.
求证:EF²=AE²+BF²
(提示:延长FD至G,使DG=DF,连接AG,)
如图,在△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,E,F分别在AC,BC上,且∠EDF=90°.求证:EF²=AE²+BF²(提示:延长FD至G,使DG=DF,连接AG,)
证明:过点A作AM∥BC,交FD延长线于点M,连接EM.
∵AM∥BC,
∴∠MAE=∠ACB=90°,∠MAD=∠B.
∵AD=BD,∠ADM=∠BDF,
∴△ADM≌△BDF.
∴AM=BF,MD=DF.
又DE⊥DF,∴EF=EM.
∴AE²+BF²=AE²+AM²=EM²=EF²
延长ED到G,使DE=DG
因为D是AB中点
所以AD=BD,
角EDA=角BDG
得到三角形ADE全等于三角形BDG
所以角A=角DBG,AE=BG,ED=DG
所以AC‖BG
得到角CBG=180度-角C=90度
再连接GF
因为DF=DF,ED=DG,角FDE=角FDG
所以三角形EDF全等...
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延长ED到G,使DE=DG
因为D是AB中点
所以AD=BD,
角EDA=角BDG
得到三角形ADE全等于三角形BDG
所以角A=角DBG,AE=BG,ED=DG
所以AC‖BG
得到角CBG=180度-角C=90度
再连接GF
因为DF=DF,ED=DG,角FDE=角FDG
所以三角形EDF全等于三角形GDF
所以EF=FG
又因为在直角△FBG中 FG平方=FB平方+BG平方
所以EF平方=AE平方+BF平方
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