f(x)为定义在R上的非0函数,有f(x+y)=f(x)*f(y),且f'(0)=1,求f(x)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 22:04:11
![f(x)为定义在R上的非0函数,有f(x+y)=f(x)*f(y),且f'(0)=1,求f(x)](/uploads/image/z/13941943-7-3.jpg?t=f%28x%29%E4%B8%BA%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9C%A8R%E4%B8%8A%E7%9A%84%E9%9D%9E0%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E6%9C%89f%EF%BC%88x%2By%EF%BC%89%3Df%EF%BC%88x%EF%BC%89%2Af%28y%29%2C%E4%B8%94f%27%280%29%3D1%2C%E6%B1%82f%EF%BC%88x%EF%BC%89)
f(x)为定义在R上的非0函数,有f(x+y)=f(x)*f(y),且f'(0)=1,求f(x)
f(x)为定义在R上的非0函数,有f(x+y)=f(x)*f(y),且f'(0)=1,求f(x)
f(x)为定义在R上的非0函数,有f(x+y)=f(x)*f(y),且f'(0)=1,求f(x)
f(x+y)=f(x)*f(y)
令x=y=0:f(0)=f^2(0),则,f(0)=1或f(0)=0
同时f(x)为非零函数,故:f(0)=1
而,
f'(x)
=lim(△x→0) (f(x+△x)-f(x)) / △x
=lim(△x→0) f(x)*(f(△x)-1) / △x
=f(x) * lim(△x→0) (f(△x)-1) / △x
=f(x) * lim(△x→0) (f(0+△x)-f(0)) / △x
=f(x) * f'(0)
=f(x)
那么,
f'=df/dx=f
df/f=dx
同积分:
∫ 1/f df = ∫ dx
ln(f(x))=x+c
同取为指数:
f(x)=e^(ln(f(x)))=e^(x+c)
因此,f(x)=e^(x+c)
再代入初值条件:f'(0)=1,即得:f(x)=e^x
验证:
f'(0)=e^(0)=1
f(x+y)=e^(x+y)=e^x * e^y=f(x) * f(y)
有不懂欢迎追问