如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PA=1,PA⊥平面ABCD,E是PC的中点,F是AB的中点. (1)求证:BE∥平面PDF; (2)求证:平面PDF⊥平面PAB; (3)求二面角P-BC-A的大小.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 13:14:51
![如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PA=1,PA⊥平面ABCD,E是PC的中点,F是AB的中点. (1)求证:BE∥平面PDF; (2)求证:平面PDF⊥平面PAB; (3)求二面角P-BC-A的大小.](/uploads/image/z/13791448-64-8.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%E5%9C%A8%E5%9B%9B%E6%A3%B1%E9%94%A5P-ABCD%E4%B8%AD%2C%E5%BA%95%E9%9D%A2ABCD%E6%98%AF%E8%8F%B1%E5%BD%A2%2C%E2%88%A0BAD%3D60%C2%B0%2CAB%3D2%2CPA%3D1%2CPA%E2%8A%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2ABCD%2CE%E6%98%AFPC%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%2CF%E6%98%AFAB%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%EF%BC%8E+%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9ABE%E2%88%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2PDF%EF%BC%9B+%EF%BC%882%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%E5%B9%B3%E9%9D%A2PDF%E2%8A%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2PAB%EF%BC%9B+%EF%BC%883%EF%BC%89%E6%B1%82%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E8%A7%92P-BC-A%E7%9A%84%E5%A4%A7%E5%B0%8F%EF%BC%8E)
如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PA=1,PA⊥平面ABCD,E是PC的中点,F是AB的中点. (1)求证:BE∥平面PDF; (2)求证:平面PDF⊥平面PAB; (3)求二面角P-BC-A的大小.
如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PA=1,PA⊥平面ABCD,E是PC的中点,F是AB的中点. (1)求证:BE∥平面PDF; (2)求证:平面PDF⊥平面PAB; (3)求二面角P-BC-A的大小.
如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PA=1,PA⊥平面ABCD,E是PC的中点,F是AB的中点. (1)求证:BE∥平面PDF; (2)求证:平面PDF⊥平面PAB; (3)求二面角P-BC-A的大小.
(1)取CD中点G,连接BG、EG
用中位线性质证明EG//PD
用全等证明BG//DF
于是平面PDF//平面BGE
最后得到BE//平面PDF
(2)连接BD,易知三角形ABD为等边三角形
由三线合一得到DF⊥AB
而由PA⊥平面ABCD知PA⊥DF,即DF⊥PA
由此可知DF⊥平面PAB
又DF属于平面PDF
所以平面PDF⊥平面PAB
(3)过A作BC延长线的垂线交于H,连接PH
因PA⊥平面ABCD,易知PA⊥BC
于是BC⊥平面PAH,进而知PH⊥BC
所以∠PHA即为二面角P-BC-A的平面角
在RT三角形PAH中
由全等或勾股定理易知AH=√3
由三角函数定义知tan∠PHA=PA/AH=√3/3
即∠PHA=30°
证明:(1)取PD的中点M,
∵E是PC的中点
∴ME是△PCD的中位线
∴ME∥FB
∴四边形MEBF是平行四边形∴BE∥MF
∵BE⊄平面PDF,MF⊂平面PDF
∴BE∥平面PDF.
(2)连接BD,易得△ABD为等边三角形
又由F为AB的中点
∴DF⊥AB
又∵PA⊥平面ABCD,
全部展开
证明:(1)取PD的中点M,
∵E是PC的中点
∴ME是△PCD的中位线
∴ME∥FB
∴四边形MEBF是平行四边形∴BE∥MF
∵BE⊄平面PDF,MF⊂平面PDF
∴BE∥平面PDF.
(2)连接BD,易得△ABD为等边三角形
又由F为AB的中点
∴DF⊥AB
又∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥DF
又由PA∩AB=A
∴DF⊥平面PAB
又∵DF⊂平面PDF
∴平面PDF⊥平面PAB.
(3)过点A做AH⊥CB延长线于H,因为PA⊥面ABCD,所以PH⊥BC,既∠PHA为二面角P-BC-A的平面角,
在Rt△ABC中PA=1,AH=
3,所以∠PHA=30°
既二面角P-BC-A的大小为30°.
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