已知直线L过点P(2,1)且与x,y轴的正半轴分别交于点A,B,求:1、当│OA││OB│最小时L的方程
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 10:08:52
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已知直线L过点P(2,1)且与x,y轴的正半轴分别交于点A,B,求:1、当│OA││OB│最小时L的方程
已知直线L过点P(2,1)且与x,y轴的正半轴分别交于点A,B,求:
1、当│OA││OB│最小时L的方程
已知直线L过点P(2,1)且与x,y轴的正半轴分别交于点A,B,求:1、当│OA││OB│最小时L的方程
解法1.设此直线方程为x/a+y/b=1,(a,b都是正数)
直线过p(2,1),2/a+1/b=1,得b=a/(a-2),a≠2,
设t=│OA││OB│=a*b=a*a/(a-2),即t=a²/(a-2),
因为a≠2,所以a²-ta+2t=0,a是实数,
⊿=t²-8t≥0,因为t>0,可得S≥8.
即t的最小值是8,
此时有a=4,b=2,
直线L方程为x/4+y/2=1,即x+2y-4=0.
解法2.设此直线方程为 y-1=k(x-2),k<0.
得A((2k-1)/k,0),B(0,-(2k-1)),
t=│OA││OB│=| (2k-1)/k*【-(2k-1)】|
=| (4k²+1-4k)/k|
=| 4k+1/k-4|,
因为k<0,-4k-1/k>0,
由均值不等式,-4k-1/k≥2√(-4k)(-1/k)=4,
4k+/k-4≤ -8,t≤ |-8|=8,
当且仅当-4k=-1/k,即k=-1/2 (k<0)时t有最小值8.
故直线方程为 y-1=-1/2(x-2),
即x+2y-4=0.
设y=kx+b,因为交点在正版轴上,故k不可能为0,切OA长为y=0时,x=-b/k,OA长-b/k,OB长为b,切直线过(2,1)带入,得1=2k+b,k=(1-b)/2,所以OA×OB=-b/[(1-2b)/2]×b,整理一下得-2b方/(1-b),再变式,得OA×OB=2(b-1)+4+2/(b-1)
这一步最难,目的就是要把式子变化成一个可以用a+b>=2根号ab的形式来计算最小值...
全部展开
设y=kx+b,因为交点在正版轴上,故k不可能为0,切OA长为y=0时,x=-b/k,OA长-b/k,OB长为b,切直线过(2,1)带入,得1=2k+b,k=(1-b)/2,所以OA×OB=-b/[(1-2b)/2]×b,整理一下得-2b方/(1-b),再变式,得OA×OB=2(b-1)+4+2/(b-1)
这一步最难,目的就是要把式子变化成一个可以用a+b>=2根号ab的形式来计算最小值,为了使最小值为常数,因此变式要让a分子和b的分母约掉,我变成的式子里a的分子含有b-1,b的分母含有(b-1)
再接着算,就比较容易了,2(b-1)+4+2/(b-1)>=2根号{2(b-1)×2/[(b-1)]}+4,当2(b-1)=2/(b-1)的时候可以取最小值,既b=2,则k=-1/2,所以方程为y=-1/2x+2
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