在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BB1=1,E为D1C1的中点,连接ED,EC,EB和DB.①求证:平面EDB垂直平面EBC
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 05:21:06
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在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BB1=1,E为D1C1的中点,连接ED,EC,EB和DB.①求证:平面EDB垂直平面EBC
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BB1=1,E为D1C1的中点,连接ED,EC,EB和DB.
①求证:平面EDB垂直平面EBC
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BB1=1,E为D1C1的中点,连接ED,EC,EB和DB.①求证:平面EDB垂直平面EBC
如图,取坐标系:
D﹙0,0,0﹚, A﹙1,0,0﹚, C﹙0,1,0﹚,P﹙0,0,1﹚,
则E﹙0,1/2,1/2﹚,PB=﹛1,1,-1﹜,PA=﹛1,0,-1﹜
⑴ 平面EBD的法向量=DB×DE∥n1=﹛1,1,0﹜×﹛0,1,1﹜=﹛1,-1,1﹜
∵PA•n1=﹛1,0,-1﹜•﹛1,-1,1﹜=0.∴PA⊥n1 PA∥平面EBD.
⑵ 设F﹙x,y,z﹚ 直线PB方程x=-t,y=-t,z=t+1 ﹙参数式﹚
EF²=t²+2﹙1/2+t﹚²=3﹙t+1/3﹚²+1/6 t=-1/3时最小,此时EF⊥PB ∴F﹙1/3,1/3,2/3﹚
平面EFD的法向量=DE×EF∥n2=﹛0,1,1﹜×﹛2,-1,1﹜=﹛2,2,-2﹜
∵PB=﹛1,1,-1﹜∥﹛2,2,-2﹜=n2 ∴PB⊥平面EFD
以d为坐标原点建立空间直角坐标系,de=(0,1,1),db=(1,2,0)ec=(0,1,-1)bc=(-1,0,0)
设n1,n2两个向量,n1*de=0 n1*db=0 n2*ec= 0,n2*bc=0,解除n1,n2,计算n1*n2=0即可证明两平面垂直
根据已知长度易得∠DEC=90°即EC⊥DE
∵BC⊥平面CC1DD1,且DE在平面CC1DD1内
∴BC⊥DE
又∵BC∩EC=C
∴BC⊥平面EBC
又∵BC在平面EDB内
∴平面EDB⊥平面EBC