已知三角形ABC的两边AB,AC的长是关于x的一元二次方程x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC长为5,问k取何值时,三角形ABC是以BC为斜边的直角三角形?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 00:41:54
![已知三角形ABC的两边AB,AC的长是关于x的一元二次方程x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC长为5,问k取何值时,三角形ABC是以BC为斜边的直角三角形?](/uploads/image/z/1171966-22-6.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E7%9A%84%E4%B8%A4%E8%BE%B9AB%2CAC%E7%9A%84%E9%95%BF%E6%98%AF%E5%85%B3%E4%BA%8Ex%E7%9A%84%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8Bx%5E2-%282k%2B3%29x%2Bk%5E2%2B3k%2B2%3D0%E7%9A%84%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E5%AE%9E%E6%95%B0%E6%A0%B9%2C%E7%AC%AC%E4%B8%89%E8%BE%B9BC%E9%95%BF%E4%B8%BA5%2C%E9%97%AEk%E5%8F%96%E4%BD%95%E5%80%BC%E6%97%B6%2C%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E6%98%AF%E4%BB%A5BC%E4%B8%BA%E6%96%9C%E8%BE%B9%E7%9A%84%E7%9B%B4%E8%A7%92%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%3F)
已知三角形ABC的两边AB,AC的长是关于x的一元二次方程x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC长为5,问k取何值时,三角形ABC是以BC为斜边的直角三角形?
已知三角形ABC的两边AB,AC的长是关于x的一元二次方程x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC长为5,问k取何值时,三角形ABC是以BC为斜边的直角三角形?
已知三角形ABC的两边AB,AC的长是关于x的一元二次方程x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC长为5,问k取何值时,三角形ABC是以BC为斜边的直角三角形?
1楼的答案有问题,
解:设AB=a,AC=b
所以a+b=2k+3
ab=k^2+3k+2
所以a^2+b^2=(2k+3)^2-2(k^2+3k+2)=2k^2+6k+5
因为BC为斜边
所以,a^2+b^2=c^2
所以,2k^2+6k+5=25
所以,k=2或k=-5
因为a+b>0,所以k>-3/2
所以k=2
∵|向量AB|,|向量AC|是关于x的一元二次方程x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0的两个实数根
∴由韦达定理得:|向量AB|+|向量AC|=2k+3
|向量AB|×|向量AC|=k^2+3k+2
∵要使△ABC是以BC为斜边的直角三角形
∴向量AB×向量AC=0
∴由直角三角形的性质得:
|向量AB|^2+...
全部展开
∵|向量AB|,|向量AC|是关于x的一元二次方程x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0的两个实数根
∴由韦达定理得:|向量AB|+|向量AC|=2k+3
|向量AB|×|向量AC|=k^2+3k+2
∵要使△ABC是以BC为斜边的直角三角形
∴向量AB×向量AC=0
∴由直角三角形的性质得:
|向量AB|^2+|向量AC|^2=|向量BC|^2
∵|向量AB|^2+|向量AC|^2=(|向量AB|+|向量AC|)^2-2(向量AB)×(向量AC)=(|向量AB|+|向量AC|)^2
∴(|向量AB|+|向量AC|)^2=|向量BC|^2
(2k+3)^2=5^2
解得:k=-4或k=1
又∵|AB|+|AC|=2k+3>0
∴k>-3/2
∴k=1
即k=1时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形
收起