椭圆内接等腰三角形 求椭圆x^2+3y^2=12的内接等腰三角形,使其底边平行椭圆的长轴,而面积最大,求最大面积
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/01 00:00:08
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椭圆内接等腰三角形 求椭圆x^2+3y^2=12的内接等腰三角形,使其底边平行椭圆的长轴,而面积最大,求最大面积
椭圆内接等腰三角形 求椭圆x^2+3y^2=12的内接等腰三角形,使其底边平行椭圆的长轴,而面积最大,求最大面积
椭圆内接等腰三角形 求椭圆x^2+3y^2=12的内接等腰三角形,使其底边平行椭圆的长轴,而面积最大,求最大面积
解;设等腰三角形底边为y=b,则(b仅是未知数,不是短板周)
底边与椭圆的交点横坐标为X=±根号下(12-3b2)
故等腰三角形面积为S=(2-b)乘根号(12-3b2)
即S=根号下(-3b4+12b3-48b+48)
令f(b)=-3b4+12b3-48b+48
求导得f(b)’=-(b+1)(b-2)2
故b=-1时,S有最大值,
且最大值为9
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改写椭圆方程,得:x^2/12+y^2/4=1,∴a=2√3、b=2。
依题意,令满足条件的等腰三角形是△ABC,且AB=AC。
由椭圆的对称性可知:点A一定在y轴上,且BC⊥y轴。
一、当BC在x轴上时,显然有:BC=2a=4√3。
要使△ABC的面积最大,点A必须是椭圆的上顶点,∴此时△ABC中BC上的高为b=2。
∴此时△ABC的面积=(1/2...
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改写椭圆方程,得:x^2/12+y^2/4=1,∴a=2√3、b=2。
依题意,令满足条件的等腰三角形是△ABC,且AB=AC。
由椭圆的对称性可知:点A一定在y轴上,且BC⊥y轴。
一、当BC在x轴上时,显然有:BC=2a=4√3。
要使△ABC的面积最大,点A必须是椭圆的上顶点,∴此时△ABC中BC上的高为b=2。
∴此时△ABC的面积=(1/2)BC×b=(1/2)×4√3×2=4√3<4√4=8。
二、当BC不在x轴上时,要使△ABC的面积最大,则点A与BC必须在x轴的两侧。
由椭圆的对称性,不失一般性地设BC在x轴的下方,则点A必须是椭圆的上顶点。
设B的坐标为(-2√3cost,-2sint),其中sint>0、cost>0。
则:C的坐标为(2√3cost,-2sint)。
∴BC=4√3cost、△ABC中BC上的高=b+2sint=2+2sint。
∴△ABC的面积=(1/2)(4√3cost)(2+2sint)=4√3cost(1+sint)。
显然,当cost(1+sint)有最大值时,△ABC的面积就有最大值。
令y=cost(1+sint),求导数,得:y′=-sint(1+sint)+(cost)^2。
令y′=-sint(1+sint)+(cost)^2=0,得:-sint-(sint)^2+(cost)^2=0,
∴-sint-(sint)^2+1-(sint)^2=0,∴2(sint)^2+sint-1=0,
∴(2sint-1)(sint+1)=0,∴2sint-1=0,∴sint=1/2,∴cost=√3/2。
容易检验出:当sint>1/2时,y′<0;当sint<1/2时,y′>0。
∴当sint=1/2时,y有最大值,此时,y=cost(1+sint)=(√3/2)(1+1/2)=3√3/4。
∴此时△ABC的面积=4√3cost(1+sint)=4√3×3√3/4=9。
比较一、二的结果,得:满足条件的椭圆内接三角形的最大面积为 9。
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