在直三棱柱ABC-A1B1C1中,角ACB=90°,AB=2,BC=1,AA1=根号6,D是棱CC1的中点,证明:A1D⊥平面AB1C1求二面角B-AB1-C1
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 16:34:09
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在直三棱柱ABC-A1B1C1中,角ACB=90°,AB=2,BC=1,AA1=根号6,D是棱CC1的中点,证明:A1D⊥平面AB1C1求二面角B-AB1-C1
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,角ACB=90°,AB=2,BC=1,AA1=根号6,D是棱CC1的中点,证明:A1D⊥平面AB1C1
求二面角B-AB1-C1
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,角ACB=90°,AB=2,BC=1,AA1=根号6,D是棱CC1的中点,证明:A1D⊥平面AB1C1求二面角B-AB1-C1
第一个问题:
令AD与AC1的交点为E.
∵∠ACB=90°、BC=1、AB=2,∴∠BAC=30°,∴AC=√3.
∵ABC-AB1C1是直三棱柱,
∴∠CC1A1=∠AA1C1=90°、CC1=AA1=√6、A1C1=AC=√3,
又CD=C1D,∴C1D=CC1/2=√6/2.
∴tan∠A1DC1=A1C1/C1D=√3/(√6/2)=2/√2=√2.
tan∠AC1A1=AA1/A1C1=√6/√3=√2.
∴tan∠A1DC1=tan∠AC1A1,显然,∠A1DC1、∠AC1A1都是锐角,
∴∠A1DC1=∠AC1A1,又∠DA1C1=∠C1A1D,∴∠DC1A1=∠C1EA1=90°,
∴A1D⊥AC1.
∵ABC-AB1C1是直三棱柱,∴BC⊥CC1、又BC⊥AC、BC∩AC=C,∴BC⊥平面AA1C1C.
∵ABC-AB1C1是直三棱柱,∴BC∥B1C1,
∴B1C1⊥平面AA1C1C,而A1D在平面AA1C1C上,∴A1D⊥B1C1.
由A1D⊥AC1、A1D⊥B1C1、AC1∩B1C1=C1,得:A1D⊥平面AB1C1.
第二个问题:
过C1作C1F⊥AB1交AB1于F,过F作FG⊥AB1交BB1于G.
∵AA1⊥A1C1、AA1=√6、A1C1=√3,∴AC1=√(AA1^2+AC1^2)=√(6+3)=3.
∵ABC-AB1C1是直三棱柱,∴BB1=AA1=√6、∠ABB1=90°.
∴AB1=√(AB^2+BB1^2)=√(4+6)=√10.
∵B1C1⊥平面AA1C1C,∴AC1⊥B1C1,∴AC1×B1C1=AB1×C1F,
∴C1F=AC1×B1C1/AB1=3×1/√10=3/√10.
∴B1F=√(B1C1^2-C1F^2)=√(1-9/10)=1/√10.
∵∠GB1F=∠AB1B、∠GFB1=∠ABB1=90°,∴△GFB1∽△ABB1,∴GF/FB1=AB/BB1,
∴GF=AB×FB1/BB1=1×(1/√10)/√6=1/(2√15).
∴GB1=√(B1F^2+GF^2)=√(1/10+1/60)=√7/(2√15).
∵ABC-AB1C1是直三棱柱,∴∠C1B1G=90°,
∴C1G=√(B1C1^2+GB1^2)=√(1+7/60)=√67/(2√15).
由余弦定理,有:
cos∠C1FG=(GF^2+C1F^2-C1G^2)/(2GF×C1F)
=(1/60+9/10-67/60)/{2×[1/(2√15)][3/√10]}
=-(12/60)/(12×5√6)=-1/(300√6)=-√6/1800.
∵C1F⊥AB1、GF⊥AB1,∴∠C1FG是二面角B-AB1-C1的平面角,
∴二面角B-AB1-C1的大小为arccos(-√6/1800).