如图,在圆O中,两弦AB与CD的中点分别是P,Q,且弧AB=弧CD,连接PQ.求证:∠APO=∠CQP
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 01:02:04
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如图,在圆O中,两弦AB与CD的中点分别是P,Q,且弧AB=弧CD,连接PQ.求证:∠APO=∠CQP
如图,在圆O中,两弦AB与CD的中点分别是P,Q,且弧AB=弧CD,连接PQ.求证:∠APO=∠CQP
如图,在圆O中,两弦AB与CD的中点分别是P,Q,且弧AB=弧CD,连接PQ.求证:∠APO=∠CQP
连接OP,OQ
因为P、Q分别为AB、CD的中点
所以OP⊥AB;OQ⊥CD;
又OP=OQ,
∴∠OPQ=∠OQP
∴∠APQ=90°—∠OPQ
∠AQP=90°—∠OQP
即证:∠APQ=∠AQP
应该证的是:∠APQ=∠CQP
证明:连结OP和OQ,因为P,Q为中点,所以OP⊥AB,OQ⊥CD,所以∠OPA=∠OQC=90°。又因为弧AB=弧CD,所以AB=CD,所以OP=OQ,所以∠OPQ=∠OQP。所以∠OPA-∠OPQ=∠OQC-∠OQP,即:∠APQ=∠CQP。
证明:连接OP,OQ
∵AP=PB
∴OP⊥AB
∴APO=90°
同理可得:OQ⊥CD且∠CQO=90°
∴∠AP0=∠CQO
∵OP⊥AB,OQ⊥CD且AB=CD
∴OP=OQ
∴∠OPQ=∠OQP
∴∠APQ=∠APO+∠OPQ=∠CQO+∠OQP=∠CQP