|设双曲线x²/4-y²/3=1的左右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线左支于A,B两点,则|BF2|+|AF2|的最小值为
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 14:40:02
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|设双曲线x²/4-y²/3=1的左右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线左支于A,B两点,则|BF2|+|AF2|的最小值为
|设双曲线x²/4-y²/3=1的左右焦点分别为F1,F2
,过F1的直线l交双曲线左支于A,B两点,则|BF2|+|AF2|的最小值为
|设双曲线x²/4-y²/3=1的左右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线左支于A,B两点,则|BF2|+|AF2|的最小值为
双曲线半焦距 c=√(4+3)=√7,离心率 e=c/a=√7/2;
设过左焦点F1(-√7,0)的直线方程为 y=k(x+√7),代入曲线方程得 x²/4-[k(x+√7)]²/3=1;
整理后得 (3-4k²)x²-8k²x√7-28k²-12=0,若方程的根为x1、x2,则:x1+x2=8k²√7/(3-4k²);
根据双曲线性质,曲线上点A、B到右焦点F2与到右准线x=a²/c 的距离之比等于e,即:
|BF2|+|AF2|=e*[(a²/c)-x1+(a²/c)-x2]=2a﹣e*(x1+x2)=4﹣(√7/2)(x1+x2);
∴ |BF2|+|AF2|=4﹣(√7/2)*8k²√7/(3-4k²) =4﹣28k²/(3-4k²),
因为必须 k²>3/4(否则直线与曲线左支仅有一个交点),上式是关于 k² 的单调递减函数,最小值是当 k²→+∞ (即直线垂直于 x 轴)时取得,|BF2|+|AF2|=4-28/(-4)=11;