已知ax^2+bx+c=0,bx^2+cx+a=0,cx^2+ax+b=0有公共解(1)试说明a+b+c=0;(2)求这三个方程的解;(3)求(a^3+b^3+c^3)/a*b*c的值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 17:54:40
![已知ax^2+bx+c=0,bx^2+cx+a=0,cx^2+ax+b=0有公共解(1)试说明a+b+c=0;(2)求这三个方程的解;(3)求(a^3+b^3+c^3)/a*b*c的值.](/uploads/image/z/10201835-11-5.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5ax%5E2%2Bbx%2Bc%3D0%2Cbx%5E2%2Bcx%2Ba%3D0%2Ccx%5E2%2Bax%2Bb%3D0%E6%9C%89%E5%85%AC%E5%85%B1%E8%A7%A3%EF%BC%881%EF%BC%89%E8%AF%95%E8%AF%B4%E6%98%8Ea%2Bb%2Bc%3D0%EF%BC%9B%EF%BC%882%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%BF%99%E4%B8%89%E4%B8%AA%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%9A%84%E8%A7%A3%EF%BC%9B%EF%BC%883%EF%BC%89%E6%B1%82%EF%BC%88a%5E3%2Bb%5E3%2Bc%5E3%EF%BC%89%2Fa%2Ab%2Ac%E7%9A%84%E5%80%BC.)
已知ax^2+bx+c=0,bx^2+cx+a=0,cx^2+ax+b=0有公共解(1)试说明a+b+c=0;(2)求这三个方程的解;(3)求(a^3+b^3+c^3)/a*b*c的值.
已知ax^2+bx+c=0,bx^2+cx+a=0,cx^2+ax+b=0有公共解
(1)试说明a+b+c=0;(2)求这三个方程的解;(3)求(a^3+b^3+c^3)/a*b*c的值.
已知ax^2+bx+c=0,bx^2+cx+a=0,cx^2+ax+b=0有公共解(1)试说明a+b+c=0;(2)求这三个方程的解;(3)求(a^3+b^3+c^3)/a*b*c的值.
解(1)设三个方程有个公共解X1
代入其中:ax1^2+bx1+c=0,bx1^2+cx1+a=0,cx1^2+ax1+b=0
将3个式子相加,得:(a+b+c)x1^2+(a+b+c)x1+(a+b+c)=0 在整理,得:(a+b+c)(x1^2+x1+1)=0
因为x1^2+x1+1>0,所以可得:a+b+c=0
(2)考虑到小题(3),我们不妨认为a,b,c都不为0
因为a+b+c=0,所以可得公共解X1=1
对ax^2+bx+c=0,有a+b+c=0,可得ax^2+bx-a-b=a(x-1)(x+1)+b(x-1)=(x-1)(ax+a+b)=0,两解分别为1,(-a-b)/a
同理可得bx^2+cx+a=0,两解分别为1,(-b-c)/b
cx^2+ax+b=0,两解分别为1,(-a-c)/c
(3)(a^3+b^3+c^3)/a*b*c=a^2/(b*c)+b^2/(a*c)+c^2/(a*b)=(b+c)^2/(b*c)+(a+c)^2/(a*c)+(a+b)^2/(a*b)=b/c+c/b+2+a/c+c/a+2+a/b+b/a+2=(b+a)/c+(a+c)/b+(b+c)/a+6=3