已知椭圆C的方程:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0),且离心率为1/2设经过点F的直线交椭圆C于M,N两点,线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,y0),求y0的取值范围
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/01 07:24:37
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已知椭圆C的方程:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0),且离心率为1/2设经过点F的直线交椭圆C于M,N两点,线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,y0),求y0的取值范围
已知椭圆C的方程:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0),且离心率为1/2
设经过点F的直线交椭圆C于M,N两点,线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,y0),求y0的取值范围
已知椭圆C的方程:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0),且离心率为1/2设经过点F的直线交椭圆C于M,N两点,线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,y0),求y0的取值范围
一个焦点是F(1,0),那么c=1
离心率e=c/a=1/2,∴a=2
b²=a²-c²=3
∴椭圆C的方程:x²/4+y²/3=1
MN斜率不存在时P(0,0),即y0=0
MN斜率存在时,设为k,k≠0
则MN:y=k(x-1) 代入x²/4+y²/3=1
3x²+4k²(x-1)²=12
(3+4k²)x²-8k²x+4k²-12=0
Δ>0恒成立
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点Q(x',y')
∴2x'=x1+x2=8k²/(4k²+3)
∴x'=4k²/(4k²+3),y'=k(x'-1)=-3k/(4k²+3)
∵线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,y0)
∴kPQ*k=-1
即(y0-y')/(-x')*k=-1
∴y0-y'=x'/k
y0=y'+x'/k
=-3k/(4k²+3)+4k/(4k²+3)
=k/(4k²+3)
=1/(4k+3/k)
当k>0时,4k+3/k≥2√(4k*3/k)=4√3
∴0