已知AD是三角形ABC的中线,向量AD=λAB+μAC(λ,μ∈R),求λ+μ的值若∠A=120°,向量AB*AC= - 2,求∣AD∣的最小值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 07:14:11
![已知AD是三角形ABC的中线,向量AD=λAB+μAC(λ,μ∈R),求λ+μ的值若∠A=120°,向量AB*AC= - 2,求∣AD∣的最小值.](/uploads/image/z/10133235-27-5.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5AD%E6%98%AF%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%BA%BF%2C%E5%90%91%E9%87%8FAD%3D%CE%BBAB%2B%CE%BCAC%EF%BC%88%CE%BB%2C%CE%BC%E2%88%88R%EF%BC%89%2C%E6%B1%82%CE%BB%2B%CE%BC%E7%9A%84%E5%80%BC%E8%8B%A5%E2%88%A0A%3D120%C2%B0%2C%E5%90%91%E9%87%8FAB%2AAC%3D+-+2%2C%E6%B1%82%E2%88%A3AD%E2%88%A3%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC.)
已知AD是三角形ABC的中线,向量AD=λAB+μAC(λ,μ∈R),求λ+μ的值若∠A=120°,向量AB*AC= - 2,求∣AD∣的最小值.
已知AD是三角形ABC的中线,向量AD=λAB+μAC(λ,μ∈R),求λ+μ的值
若∠A=120°,向量AB*AC= - 2,求∣AD∣的最小值.
已知AD是三角形ABC的中线,向量AD=λAB+μAC(λ,μ∈R),求λ+μ的值若∠A=120°,向量AB*AC= - 2,求∣AD∣的最小值.
三角形ABC中由三角形法则得向量AD=AB-DB,AD=AC-DC两式相加得2AD=AB+AC所以λ+μ的值为1
因为是中线,所以做向量的时候有一个技巧,就是:延长AD到E,使ABCE是一个平行四边形。向量相加的原理就是平行四边形吧,那么2AD=AB+AC(都是向量)。把2除过来,λ=μ=1/2了。那么λ+μ=1。
设|AC|=X,则,根据AB·AC=|AB|*X*cos120°=-2,所以,|AB|=4/X。把关系式两边平方得
|AD|^2=(|AB|^2+2|AB||AC|cos120°+...
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因为是中线,所以做向量的时候有一个技巧,就是:延长AD到E,使ABCE是一个平行四边形。向量相加的原理就是平行四边形吧,那么2AD=AB+AC(都是向量)。把2除过来,λ=μ=1/2了。那么λ+μ=1。
设|AC|=X,则,根据AB·AC=|AB|*X*cos120°=-2,所以,|AB|=4/X。把关系式两边平方得
|AD|^2=(|AB|^2+2|AB||AC|cos120°+|AC|^2)/4=[16/(X^2)-4+X^2]/4=4/(X^2)+(X^2)/4-1≥2*[4/(X^2)*(X^2)/4]-1=2-1=1
当且仅当4/(X^2)=(X^2)/4,即X=2时,|AD|取最小值,为1
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